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「数学的必然」というのはどういう意味なんだろう

2008年05月10日

Wikipedia の「0の0乗 - Wikipedia」の項をつらつら読んでたんですけど,そこにあった以下の文言はどういう意味なのか,ちと疑問に……。

0の0乗(0の0じょう)とは何か、ということはしばしば初学者の議論となるところであるが、これはただ数学用語を組み合わせただけの言葉であって、特別な意味は持たない。すなわち、標準的な教科書においては0の0乗は定義されない。

0の0乗が通常定義されないのは、2変数関数 xy が、原点 (0, 0) において値をどのように定義しても連続にならないことが理由の一つである。もっとも、0の0乗に対して特定の実数値を定義する場合もある。ただし、それは数学的必然性によるものでなく、あくまで便宜的なものである。

[※強調は aian]

0の0乗 - Wikipedia

「0の0乗」がなんで問題になっているのかというと,それが0になるようにも見える(0を0回かける)一方で,1になるようにも見える(負でない実数xの0乗は1)からです。Wikipedia によると,数学的に「0の0乗」は「定義されない」んだそうで,まぁ,それはそれで,「ふーん……」といったところ。

一方,あたしが悩んだのは,その説明にある「数学的必然性」の意味です。この意味自体よく分からないんですけれど,その使われ方がちょっとよく分からない。こちらに何か考えがあって批判しているわけじゃなくて,本当に分からないんです。

あたしゃ数学には明るくないもんですから,むちゃくちゃなことを言ってるかもしれないんですけど,ここにある「定義されない」という文言は,メタ数学的な場所から語っているように見えるのに対して(実際にそうなのかは知らない。「数学上の定義されるもの」について語っているという意味で,「メタ数学的」という意味),「数学的必然性があるかないか」といった話は,数学内部の話に見えます。つまるところ,「数学的必然性がない」すなわち「値が定まらない」あるいは「値を観念できない」ということと,「その値を定義すること」は別の話のように思えるんです。

この話,分かりやすいところでは,「0の除算」ってのも「定義されない」類のもんだと思うんですけれど,ここで言う「定義されない」も,「数学上観念されない」という意味なんだと思います。で,数学上観念されないんだったら,「値が定まらない」ということも言えないはずだと思うんだけれど,違うんだろうか。数学的にモノを言えないことと,「不定である」と数学的に語ることは,天と地ほどにも差があるんじゃないだろうか。なんだったら,「不定」と定義しちゃいかんのか?いかんよね。よく分からんけど。

もう頭がこんがらがってきたから,「ドルアーガ」でも見よう。

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